Alguns exercícios do CAPÍTULO 4 APOSTILA 1





Questão 1
Um avião parte de São Paulo e após 40 minutos seu vetor posição (com origem em São Paulo) tem módulo 400 km e aponta de oeste para leste;
a) onde está o avião?

Na figura P é o ponto onde está o avião. Sendo d = 400 m o avião está a 400 km à leste de São Paulo

b) E quando o vetor posição tem 2000 km e aponta para nordeste fazendo ângulo de 35 ° com a direção Sul-Norte?

O ponto " O " é onde se encontra SP.
Assim, o avião está à aproximadamente 1147 km à leste e 1638 km à norte de São Paulo.

c) Qual o vetor deslocamento entre as posições citadas acima?


Questão 2
Quais dos deslocamentos abaixo são iguais?
Dois vetores são iguais quando seu módulo, sua direção e seu sentido forem iguais. Logo, os vetores iguais são A e E


Questão 3
Um carro anda 30 km para leste, depois vira e anda 45 km para norte e finalmente muda de direção para percorrer 60 km para oeste. Faça um esboço de sua trajetória e indique os deslocamentos parciais e total de sua viagem.
 
Deslocamentos parciais:

Em A temos:

O carro está a 30 km à leste do ponto de partida.


Em B temos:
Em C temos:
O deslocamento total será:


 
Questão 4
Demonstre por meio de construções geométricas as propriedades comutativa e associativa da adição de vetores.
A adição de dois vetores é definida geometricamente para os vetores A e B como na figura (a). O início do vetor B é colocado no final do vetor A e a soma C=A+B é o vetor que vai do início de A até o término de B. Conforme podemos observar na figura (b), o resultado que temos é o mesmo que na figura A . Podemos ver que a soma de dois vetores é independente da ordem dos dois vetores. Assim,
No caso da propriedade associativa temos que a soma de três vetores ou mais, independe da ordem em que são adicionados conforme podemos ver nas figuras (c) e (d) .
Assim, temos que:


Questão 5
Dados os vetores abaixo determine soma dos vetores e a subtração entre os vetores.

Questão 6
Demonstre que um vetor é sempre igual à soma de suas componentes ao longo de um sistema de eixos cartesianos ortogonais.

Questão 7
Demonstre que a condição necessária e suficiente para que um vetor não nulo seja perpendicular a um eixo é que a sua componente a longo deste seja nula.

Questão 9
Descreva módulo, direção e sentido dos seguintes vetores:  (0,0,1) e (0,1,1)

Questão 10
Demonstre que as componentes da soma de dois vetores são iguais à soma das componentes respectivas das parcelas.

Questão 11
Demonstre que quando um vetor é multiplicado por um número, o vetor resultante tem componentes iguais às do vetor inicial multiplicadas pelo mesmo número.

Questão 12
Dados dois vetores  que formam ângulo q entre si, demonstre que o quadrado do módulo dos vetores soma e diferença de  são dados respectivamente por .

Questão 13
Quais as componentes segundo Ox e Oy do vetor deslocamento de módulo 6 cm e que faz ângulo de 330° com o eixo Ox?

Questão 14
Dado o vetor  determine:
a) o módulo de 
b) o ângulo de com Ox
c) o versor da direção de  (dê suas componentes)
d) desenhe e o seu versor no plano Oxy

Questão 15
Dados os vetores abaixo calcule:

Questão 16
Mostre a equivalência das definições do produto escalar dadas no início da seção 5 (apostila)

Questão 17
Quando o produto de dois números é zero, necessariamente um dos fatores é nulo. Vale o mesmo para o produto escalar de dois vetores? Por que?

é a componente de na direção de é a componente na direção de 

Questão 18
Calcular os produtos escalar dos vetores da questão 15.

Questão 19
Dado o vetor determine:


Questão 20
a)  são vetores ortogonais. Quanto vale o seu produto escalar?
Dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produtor escalar deles é nulo isto é, se:
b) Conhecidas as componentes de dois vetores  , como posso saber se são ortogonais?
Se forem ortogonais o produto escalar deles é nulo. Exemplo:

Questão 21
O vetor  de Q15 tem somente componente  ao passo que  tem componentes . Isto significa que  é perpendicular a?
Não

Questão 22
Calcule o ângulo entre os vetores de Q15;

Questão 25
Um índio atira uma flecha com um arco. A flecha tem direção, sentido e comprimento. É um vetor? Por que?
A flecha em si não é um vetor. O deslocamento da flecha é um vetor.

Questão 26
Quais das grandezas abaixo são vetoriais e quais são escalares Justifique. Massa, volume, força, campo gravitacional, comprimento, tempo, vazão (litros por minuto), quantidade de movimento, energia, temperatura.
As grandezas vetoriais tem direção e sentido, (vetor posição deslocamento com dimensão de comprimento): velocidade, aceleração força, quantidade de movimento, momento angular, torque, campo elétrico, polarização magnética, densidade de corrente elétrica, campo gravitacional.

Grandezas descritas por valor numérico e uma unidade de medida sem direção e sentido são Grandezas escalares: massa, volume, comprimento, tempo, vazão, temperatura, energia.


Questão 28
Considere o paralelepípedo de arestas 
a) Como é este paralelepípedo (descreva-o)
b) Qual o volume do paralelepípedo?
O volume é dado por


Questão 29
Dados os vetores  , determine  .

Questão 30
Demonstre que valem as seguintes relações entre os versores

Questão 31
Demonstre que o duplo produto vetorial corresponde a um vetor que pertence ao plano definido por 
é perpendicular ao plano definido por 
como é perpendicular ao plano b-c então pertence ao plano b-c.