Texto complementar no 1 - Gráficos

 

1. Introdução.


No estudo de um fenômeno físico são realizadas experiências onde são medidas diversas grandezas ao mesmo tempo. A relação entre essas grandezas pode ser expressa por meio de fórmulas matemáticas, tabelas ou gráficos. Muitas vezes também o significado de uma lei da natureza ou de uma equação fica mais claro se a representamos num gráfico. Neste texto revisamos algumas idéias básicas necessárias à construção e interpretação de gráficos, particularmente quando a função é linear.
Representamos os gráficos no plano por um sistema de eixos cartesianos ortogonais. Para cada eixo adota-se uma escala, sendo que as duas escalas podem ser diferentes.

Na construção de um gráfico, a primeira tarefa importante que temos que realizar é uma escolha conveniente da escala. Se a escala não for conveniente, parte do gráfico pode ficar fora do papel, ou então ficará tão pequeno que não poderemos observar seus detalhes. O procedimento descrito a seguir permite escolher bem a escala.
a) Determine o tamanho do papel e identifique os valores máximos e mínimos das grandezas que serão representadas nos eixos x e y e, a partir dessas dimensões, calcule a escala que permita ocupar o espaço disponível.
b) A divisão da escala deve ser definida de modo a permitir a fácil localização e marcação de pontos, bem como uma posterior leitura de valores a partir do gráfico. Isso se consegue usando divisões na escala que sejam múltiplos ou submúltiplos de 10, ou seja: ...; 0,1; 1; 10; ...; 0,2; 2; 20; ...; 0,5; 5; 50; ...
Agora observe os gráficos abaixo e responda rápido: eles representam a mesma função ou funções diferentes?


Figura 1- Gráfico 1

Figura 2- Gráfico 2

Para construir um gráfico de uma função organizamos uma tabela com valores convenientes de x e os correspondentes valores de y. A seguir localizamos no plano (supondo um sistema de eixos cartesianos) cada par (x,y). O gráfico da função é obtido ligando-se esses pontos de modo a respeitar o seu comportamento.
Construa uma tabela com pares de valores x e y para os dois gráficos acima. Responda novamente: eles representam a mesma função?

2. Quando o gráfico é uma reta.

Uma reta é descrita pela função de primeiro grau (primeiro grau porque a variável x aparece elevada à potência 1):

y=ax+b


onde a e b são constantes reais. Dizemos que y depende linearmente de x ou que a relação entre y e x é linear.


Figura 3 - Quadriculado

Exercício. No quadriculado acima, faça os gráficos das 4 funções indicadas abaixo, para x variando de – 3 até +3. Escolha a mesma escala para representar todos os gráficos. Escolha com cuidado a escala no eixo y de forma a ter a melhor ocupação do espaço, mas de forma que todos os gráficos caibam no papel, no intervalo indicado. Use uma cor diferente para cada gráfico.

(i) y = 2x + 2
(ii) y = 3x + 2
(iii) y = 2x – 1
(iv) y = -2x + 2
Para cada função dos itens (i), (ii), (iii) e (iv) determine os valores dos coeficientes a e b.
O que há em comum entre as retas (i) e (ii)? E entre as retas (i) e (iii)? O que distingue a reta do item (iv) das demais?


3. Interpretação dos coeficientes a e b em y = ax + b , quando x e y têm mesma dimensão.

O número real a é denominado coeficiente angular e está associado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox. No caso (i), o coeficiente angular é igual a 2; no caso (ii) é igual a 3. Note que a reta descrita pela função do item (ii) é “mais inclinada” que a do item (i). Se a for negativo (a < 0), como no item (iv), a grandeza y decresce à medida que x cresce e a reta forma um ângulo maior que 90o com o eixo x.

Podemos relacionar o coeficiente angular com o ângulo entre a reta e o eixo Ox. Para relembrar porque, considere o triângulo retângulo abaixo. Os dois lados que formam o ângulo reto são chamados catetos. O lado q é o cateto oposto ao ângulo a e o lado r é o cateto adjacente ao ângulo q. No triângulo retângulo define-se tangente de a (abreviadamente tan a) como a razão entre o cateto oposto a a e o cateto adjacente:



Assim, vemos que a constante a é igual à tangente do ângulo que a reta forma com o eixo Ox.

Figura 4 - Triângulo retângulo



Podemos definir as funções trigonométricas, como seno, coseno e tangente, para qualquer ângulo. A tangente de um ângulo 90º < q< 180º tem sinal negativo e é igual em módulo à tan (180º - q). Com esta definição, o coeficiente a pode ser interpretado como a tangente do ângulo que a reta y = ax + b faz com o eixo x. Se a for negativo, o ângulo que a reta forma com o eixo x é obtuso e y diminui se x aumenta. A Figura 5 mostra duas retas com coeficientes angulares de mesmo módulo e sinais contrários. Chamando de a o coeficiente angular da reta que forma ângulo q com o eixo Ox, temos a > 0 e a reta que forma ângulo b=180º - q tem coeficiente angular -a .

Figura 5 - Coeficientes das retas

O número real b corresponde ao valor de y quando x = 0, ou seja, indica em que ponto a reta vai “cortar” o eixo y. Note que a reta descrita pela função do item (i) cruza o eixo Oy em y = 2 e a reta do item (iii) cruza o eixo y em y = -1 . Como o coeficiente angular das duas retas é o mesmo (a = 2), elas têm a mesma inclinação, ou seja, são paralelas.


4. Interpretação dos coeficientes a e b em y = ax + b , quando x e y não têm mesma dimensão.


Em física, a maioria das grandezas envolvidas nas equações tem dimensão, isto é, são expressas em relação a uma unidade de medida. Isso faz com que a inclinação do gráfico que expressa um fenômeno físico tenha uma unidade e não possa ser interpretada como tangente de um ângulo, na maior parte dos casos.
Entretanto, sempre podemos definir a inclinação da reta a partir de um par qualquer de pontos (x1,y1) e (x2,y2), pela expressão
inclinação:

.
Assim, o coeficiente a é uma grandeza com dimensão física quando as grandezas x e y não têm a mesma dimensão física. Por exemplo, se y mede posição em m e x mede tempo em s, a inclinação tem a dimensão de m/s.
É importante, ainda, ter atenção para o fato de que, apesar da reta que representa o gráfico y(x) formar um ângulo com o eixo Ox que pode ser medido, por exemplo, com um transferidor, não podemos dizer que o coeficiente a seja a tangente desse ângulo. Isso ocorre porque este ângulo depende da maneira como você escolhe as escalas. Por isso, para calcular a é necessário usar a expressão para a inclinação dada acima, embora seja comum chamá-lo de coeficiente angular.
Em relação ao coeficiente b, a interpretação é a mesma da situação anterior, exceto pelo fato dele possuir também uma dimensão física na maior parte dos casos.

5. Variação Proporcional vs. Proporção

Estamos muito habituados a "fazer regra de três" em situações do cotidiano. Calculamos muito rapidamente que, se a dúzia de bananas custa R$2,40, uma dúzia e meia custará R$3,60. Dizemos que o preço da penca é proporcional ao número de bananas. Existem muitas outras situações onde há proporcionalidade entre grandezas, por exemplo, um mol de moléculas contém 6x1023 moléculas.

Questão 1. Chamando de M o número de moles e de N o número de moléculas, escreva uma relação matemática entre o número de moles e moléculas numa substância.

Uma grandeza física que é uma proporção entre duas outras grandezas é a densidade dos corpos homogêneos - a densidade é a razão entre a massa e o volume do corpo. Dizer que o corpo é homogêneo significa dizer que as propriedades de qualquer fragmento são as mesmas do corpo todo.

Para fixar idéias nesta discussão, imagine uma usina de Alumínio. A densidade do Al é 2,7 g/cm3= 2,7x103 kg/m3. A fábrica produz, a partir de um grande corpo de Alumínio que podemos considerar puro nesta discussão, perfis, panelas e papel de Alumínio. Dizer que o grande corpo de Al é homogêneo, em relação à densidade, significa dizer que a proporção entre massa e volume é a mesma para qualquer pedaço desse corpo. Assim, tanto para um pedaço de papel de Alumínio quanto para um caco da panela ou um fragmento de um trilho de cortina, a razão entre massa e volume é r=2,7x103 kg/m3. Podemos, portanto, sempre deduzir o volume V de um objeto de Al como V=m/r. Quando o objeto tem Volume conhecido, podemos deduzir sua massa m como m=rV.

O gráfico da figura ao lado representa essa propriedade do Alumínio metálico puro nas condições ambientes normais.
Note a propriedade, absolutamente importante, do gráfico da massa de Alumínio em função do volume passar pela origem do sistema de coordenadas, identificada pelo ponto O.
Quando lidamos com a velocidade de um objeto, tendemos a pensar que ela representa uma proporção. Afinal, dizer que um automóvel está correndo a 10 m/s significa que ele corre 10 m em 1 s. No entanto, a velocidade não é uma proporção entre a posição e o tempo. Veja, na figuras abaixo, diferentes possíveis gráficos da posição em função do tempo de um automóvel com velocidade v=10m/s.

Figura 6 - Relação massa x volume

Figura 7 - Gráficos para posição de um auto em função do tempo

Caso você, equivocadamente, imaginasse a velocidade como uma proporção entre posição e tempo, deduziria que a posição do automóvel em t=6,0s é x=60m. Vemos no gráfico acima que, exceto na situação descrita pela linha tracejada, a posição do automóvel em t=6,0s NÃO é x=60m.
Se a velocidade não é uma proporção, o que ela é? Resposta: é uma variação proporcional. Ela representa o deslocamento - uma variação de posição- num intervalo de tempo. Assim, a velocidade não é a proporção entre a posição e o tempo, mas sim a proporção entre variação de posição e "variação" de tempo. Quando um corpo mecânico desloca-se à velocidade constante, sua variação de posição é proporcional ao intervalo de tempo considerado, portanto, é uma variação proporcional.

Questão 2: Qual a propriedade da curva tracejada do gráfico acima que faz com que a velocidade possa ser confundida com uma proporção simples?


Nas situações mais simples onde há apenas um objeto em movimento uniforme, você pode escolher a origem do sistema de coordenadas de maneira que em t=0s ele esteja na origem. No entanto, isso não pode ser feito em geral, de maneira que NUNCA devemos pensar na velocidade como uma proporção entre posição e tempo, mesmo que isso dê certo em alguma situação muito particular.
Uma variação proporcional pode, com freqüência, ser expressa por números negativos, o que raramente faz sentido com proporções. Nas figuras abaixo mostramos alguns possíveis gráficos de posição em função do tempo para um objeto à velocidade de -5 m/s. A diferença entre as duas figuras é devida apenas ao intervalo de tempo considerado em cada um dos movimentos.

Gráfico 8 - Gráficos de intervalos de percursos em tempo diferentes

Questão 3. Descreva uma situação física de Movimento Uniforme onde você defina tempos negativos. Veja que basta escolher uma origem para a coordenada tempo que seja posterior ao instante em que você começa a descrever a situação.

Veja uma animação que trata da questão 3

Para imprimir texto 01.doc

FECHAR JANELA