O momento magnético orbital do elétron

A relação entre momento de dipolo magnético e momento angular orbital pode ser aplicada para o caso de um elétron, em que $ Q=-e$ e $ M=m_e$. Mas, segundo a teoria de Schrödinger (e também as teorias de Bohr e Sommerfeld) o momento angular é quantizado. Sua componente $ z$ só pode assumir valores múltiplos inteiros de $ \hbar$, $ L_z=m_\ell\hbar$. Assim, temos para a componente $ z$ do momento magnético orbital

$\displaystyle \mu_{Lz}=-m_\ell \frac{e\hbar}{2m_e}=-m_\ell\mu_\mathrm{B}.$

Aqui aparece o chamado magneton de Bohr, que é a grandeza natural para se expressar o momento magnético do elétron. Seu valor no SI é

$\displaystyle \mu_\mathrm{B}=\frac{e\hbar}{2m_e}=0.927400949(80)\times10^{-23}\;\mathrm{J/T}=5.788381804(39)\times10^{-5}\;\mathrm{eV/T}.$

(Os números entre parênteses ao final do valor numérico representam a incerteza padrão, e correspondem aos últimos 2 dígitos no valor declarado.)

O movimento de precessão do momento magnético também ocorre na Mecânica Quântica. Aqui, entretanto, ele envolve o valor esperado da componente de $ \mathbf{L}$ no plano perpendicular ao campo magnético aplicado. A freqüência angular do movimento de precessão quântico é dada pela mesma expressão deduzida classicamente, $ \omega_c=\gamma B$. O fator giromagnético associado ao momento orbital do elétron fica

$\displaystyle \gamma=\frac{\mu}{L}=\frac{\mu_\mathrm{B}}{\hbar}\approx8,8\times10^{10}\;\mathrm{s^{-1}T^{-1}}.$

Para $ B=1\;T$, a freqüência do movimento de precessão seria $ f_c=\omega_c/2\pi\approx14\;\mathrm{GHz}$.

Na presença de um campo magnético externo $ B$ temos que considerar a energia do acoplamento do dipolo magnético com o campo; $ U_{mag}=-\vec{\mu}.\mathbf{B}$. Como o momento magnético é quantizado, esta energia também é quantizada. Se tomarmos $ \mathbf{B}$ na direção $ z$ teremos

$\displaystyle U_{mag}=-\mu_zB=m_\ell\mu_\mathrm{B}B.$

Considere os $ 2\ell+1$ auto-estados do momento angular orbital. Eles são normalmente degenerados, ou seja, têm a mesma energia para todos os valores de $ m_\ell$. Na presença de um campo magnético, entretanto, esta degenerescência é quebrada: a parcela magnética da energia é diferente para cada valor de $ m_\ell$. Esta separação (desdobramento) de níveis inicialmente degenerados provocada por um campo magnético é conhecido como efeito Zeeman. Observe que a separação entre níveis de energia com $ m_\ell$ sucessivos, $ \Delta m_\ell=1$, é $ \Delta E=\mu_\mathrm{B}B$. Para campos magnéticos de laboratório, da ordem de $ 1\;\mathrm{T}$ a separação é muito menor que $ 1 \mathrm{eV}$ (da ordem de $ 6\times10^{-5} \mathrm{eV}$), mas este efeito já era conhecido antes do nascimento da Mecânica Quântica.

Note também que a separação entre níveis sucessivos pode ser escrita como

$\displaystyle \Delta E=\hbar\omega_c.$

Isto significa que o sistema poderia sofrer uma transição entre níveis sucessivos pela absorção (ou emissão) de um fóton de freqüência idêntica á freqüência de Larmor, do movimento de precessão.
vbindilatti@if.usp.br - 2005-04-14