O princípio de exclusão de Pauli

Como vimos anteriormente a Eq. de Schrödinger para duas partículas não interagentes apresenta soluções na forma de produtos de auto-funções de 1 partícula.

$\displaystyle \psi_{{\alpha_1},{\alpha_2}}(\mathbf{q}_1,\mathbf{q}_2)=\psi_{\alpha_1}(\mathbf{q}_1)\psi_{\alpha_2}(\mathbf{q}_2)
$

Se as funções de 1 partícula são as mesmas, $ \alpha_1=\alpha_2$, uma tal função é automaticamente simétrica pela troca das coordenadas das duas partículas. Ela pode, portanto, representar um estado físico de um sistema de 2 bósons.

Se as funções de 1 partícula são diferentes, $ \alpha_1\neq\alpha_2$, uma tal função não obedece ao requisito de simetria de troca ditado pelo princípio de indistinguibilidade. Entretanto, a auto-função com as coordenadas trocadas, $ \psi_{{\alpha_2},{\alpha_1}}(\mathbf{q}_1,\mathbf{q}_2)$, também é uma solução da Eq. de Schrödinger, com o mesmo auto-valor da energia. Assim, qualquer combinação linear das duas funções continua sendo uma solução da Eq. de Schrödinger, com a mesma auto-energia. Podemos então, a partir de tais funções obter soluções da Eq. de Schrödinger que também satisfaçam os requisitos da indistinguibilidade.

Um estado simétrico pode ser obtido como

$\displaystyle \psi_S(\mathbf{q}_1,\mathbf{q}_2)=
\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_{...
...athbf{q}_2)+\psi_{\alpha_2}(\mathbf{q}_1)\psi_{\alpha_1}(\mathbf{q}_2)\right].
$

O fator $ 1/\sqrt{2}$ serve para tornar a função normalizada se as funções de 1 partícula são normalizadas. Tal função pode descrever um estado de dois bósons idênticos.

Para férmions os estados devem ser necessariamente anti-simétricos pela troca. Um estado anti-simétrico pode ser obtido a partir de estados de uma partícula como

$\displaystyle \psi_A(\mathbf{q}_1,\mathbf{q}_2)=
\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_{...
...athbf{q}_2)-\psi_{\alpha_2}(\mathbf{q}_1)\psi_{\alpha_1}(\mathbf{q}_2)\right].
$

Note que se tomarmos $ \alpha_1=\alpha_2$, ou seja atribuirmos a ambas as partículas o mesmo estado $ \psi_{\alpha_1}$, a função $ \psi_A$ se anula identicamente! Ou seja, não existem estados de dois férmions que correspondam a duas partículas no mesmo estado de 1 partícula. Para mais de dois férmions a condição de anti-simetria pela troca das coordenadas de qualquer par de partículas conduz ao mesmo resultado. Ou seja, as funções de estado de vários férmions idênticos só podem conter produtos de estados distintos de 1 partícula. Ou seja, em estados de férmions só pode haver uma e apenas uma partícula em cada estado de 1 partícula. Este é o Princípio de Exclusão de Pauli.

Observe que trocar as coordenadas de duas partículas envolve trocar todas as coordenadas, as coordenadas espaciais $ \mathbf{r}$ e a coordenada de spin. Provavelmente, a versão do princípio de exclusão que vocês têm em mente diz: só pode haver 2 elétrons em cada estado orbital. Isto é completamente equivalente ao enunciado anterior se lembrarmos que o estado de um elétron é caracterizado pela sua função de onda (estado orbital) e pelo seu estado de spin. Assim, se temos um único estado orbital $ \psi(\mathbf{r})$, quando consideramos o spin podemos ter dois estados de elétrons, $ \psi_\uparrow(\mathbf{r})$ e $ \psi_\downarrow(\mathbf{r})$. O função de estado dos dois elétrons é a combinação anti-simétrica das funções dos dois estados envolvendo a mesma função orbital:

$\displaystyle \psi(\mathbf{q}_1,\mathbf{q}_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_\upa...
...mathbf{r}_2)
-\psi_\downarrow(\mathbf{r}_1)\psi_\uparrow(\mathbf{r}_2)\right].
$

Vamos voltar a este ponto mais adiante.

vbindilatti@if.usp.br - 2005-05-04